试证明： 试作（0，1)上函数f（x)，使得对任意的非空开集，G均含有f（x)的c个连续点以及c个不连续点．

设，f∈C(E)．试作[0，1]上的函数g(x)，它在E上连续.

试证明：

设f∈L([0，1])，且有，则存在[0，1]上的可测函数g(x)，使得

，．

试证明：

设f(x)是[0，1]上的递增函数，则存在f_n∈C([0，1])(n∈N)，使得(0≤x≤1).

试作[0，1]上无处连续的函数f(x)，使得改变其在任一零测集上的函数值，f(x)仍无处连续．

试证明：

设f(x)是[0，1]上正值递增函数，若有g(x)满足0≤g(x)≤[f(x)-f(y)]/(x-y)(0＜y＜x≤1)，则存在(0，1)上递减可积函数F(x)，使得g(x)≤F(x)(0＜x＜1)．

试证明：

设f(x)是[0，1]上非负递增函数，则对[0，1]中的可测集E:m(E)=e，有

.

设函数f(x)在[0，1]上为非负连续函数，且f(0)=f(1)=0，试证明：对任何一个小于1的正数l，必有点ξ∈[0，1)，使得f(ξ)=f(ξ+l)

试作[0，1]上的函数f(x)，使其不连续点集D满足：(i)m(D)=0．(ii)对任意的，点集D∩(α，β)不可数．

设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导且f(0)=f(1)=0,f（1/2）=1,试证明至少存在一点ξ∈（0,1）,使得f`（ξ）=1.

在(0，1]上定义函数f(x)如下：若x∈(0，1]在十进位小数表示式(采用无穷位小数表示)为

x=0.a₁a₂…a_k…，

则令f(x)=max{a_k：k∈N}，试证明f(x)在(0，1]上可测.