设H为Hilbert空间,{un}为H的可数标准正交集,{un}不一定为完全的。{kn}为有界纯量序列,用E表示集合{kn:n=1,2,
设H为Hilbert空间,{un}为H的可数标准正交集,{un}不一定为完全的。{kn}为有界纯量序列,用E表示集合{kn:n=1,2,…}。对x∈H令
(19)
求证:
(a)A∈BL(H)且
(b)
(c)若,则A-kI的逆B由下式给出
,k=0,
, k≠0
设H为Hilbert空间,{un}为H的可数标准正交集,{un}不一定为完全的。{kn}为有界纯量序列,用E表示集合{kn:n=1,2,…}。对x∈H令
(19)
求证:
(a)A∈BL(H)且
(b)
(c)若,则A-kI的逆B由下式给出
,k=0,
, k≠0
第1题
设{un}为可分Hilbert空间H的完全标准正交序列,A∈BL(H)且对某
A(un)=λun-un+1, n=1,2,…。
求σ(A)
第2题
设A为Hilbert空间H上的紧算子,{un}为H的无穷标准正交序列,求证:在H中有Aun→0
第3题
设{un:α∈L}为Hilbert空间H的标准正交基。设A∈BL(H)使得
(11)
求证:
(a)
(b)若{vi:i∈J}为H的另一标准正交基,则
(c)A为紧算子。
[使(11)成立的算子称为Hilbert-Schmidt算子。]
第4题
设H为Hilbert空间,{un}为H的无穷标准正交基,对n=1,2,…,设Fn=span{u1,u2,…un}。若Pn为从H到F,,的正交投影.求证:
(a)任每一x∈H有Pnx→x。
(b)‖Pn-I‖不收敛到0。
第5题
设H为可分Hilbert空间,{un}为H的标准正交基,{kn}为有界纯量列求证:
, x∈H
定义了H上的正规算子[这样的算子被称为[<strong>对角算子</strong>]]。求A的特征值和谱。
第6题
设H为可分Hilbert空间,{un}为H的标准正交基。假定BL(H)中元A和B相对于{un}的矩阵表示分别为(aij)和(bij),求证:
(a)这两个矩阵的每一行和每N均为平方可和的。
(b)AB和A*分别由(cij)和(dij)表示,其中
,
第7题
设A为Hilbert空间H上的非零紧算子。求证:存在有限或无限单调下降的正数列{αn},存在H的标准正交序列{un}和{vn}使得
, z∈H, (6)
, x∈H。 (7)
第9题
设H为复Hilbert空间,A为H上的紧正规算子。求证:存在x∈H使得
<Ax,x>=‖A‖, ‖x‖=1