试证明: 设,则集合 E={x=(x1,x2,…,xn,…):xn∈En(n∈N)} 之基数也是c.
试证明:
设,则集合
E={x=(x1,x2,…,xn,…):xn∈En(n∈N)}
之基数也是c.
[证明] 不妨假定每个En都是由自然数组成的数列为元素的全体所形成的集合,即当xn∈En时,有
,
其中是自然数,这样,对于x∈E,就对应着一个无穷矩阵:
,
记如此之矩阵的全体形成之集为A,则易知E~A.现在,视A中元素为自然数列
,
则又有(实际上A~En).
试证明:
设,则集合
E={x=(x1,x2,…,xn,…):xn∈En(n∈N)}
之基数也是c.
[证明] 不妨假定每个En都是由自然数组成的数列为元素的全体所形成的集合,即当xn∈En时,有
,
其中是自然数,这样,对于x∈E,就对应着一个无穷矩阵:
,
记如此之矩阵的全体形成之集为A,则易知E~A.现在,视A中元素为自然数列
,
则又有(实际上A~En).
第1题
试证明:
设x1<x2<…<xn是n次多项式P(x)的n个不同实根,λ>0并作点集
E={x∈R1:P'(x)/P(x)>λ},
则E是有限个互不相交的区间之并集,且这些区间的总长度为n/λ.
第2题
试证明:
对x∈Rn-1(n>1),t∈R1,记(x,t)为
(x,t)=(x1,x2,…,xn-1,t)∈Rn.
设E是Rn-1中可测集,h>0,点集
A={(αz,αh):z∈E,0≤α≤1}
是以E为底、高为h且顶点为0的锥,则.
第3题
试证明:
(i)设且m(E)>1,则E中存在两点:P1=(x1,y1),P2=(x2,y2),其中x2-x1∈Z,y2-y1∈Z(Z是整数集).
(ii)设是以原点(0,0)为中心的对称凸集,且m(S)>22,则S包含整数格点P=(x,y)≠(0,0).此外,又若存在n0∈N,使得m(S)>n0·22,则S至少包含2n0个整数格点.
第4题
试证明:
设Γ是集合X中某些非空子集合形成的集合族.若Γ对运算△,∩是封闭的(即若A,B∈Γ,则A△B∈Γ,A∩B∈Γ,也说Γ是一个环),则Γ对运算∪,\也封闭.
第5题
试证明:
设A,B是两个集合,若存在集合E,使得A∪E=B∪E以及A∩E=B∩E,则A=B.
第6题
设总体X~N(μ,σ2),X1,X2,…,Xn为来自总体X的样本,当用2X2-X1,/4,及X1作为μ的估计时,试证明:是μ的有效估计font font
第10题
试证明:
设E是由某些有理数形成的集合,且满足
(i)若a∈E,b∈E,则a+b∈E,ab∈E;
(ii)对任一有理数r,恰有下述关系之一成立:
r∈E,-r∈E,r=0,
则E是全体正有理数形成的数集.
第11题
试证明:
设E是由n个元素形成的集合.E1,E2,…,En+1是E的非空子集,则存在r,s个不同指标:
i1,i2,…,ir;j1,j2,…,js,
使得Ei1∪…∪Eir=Ej1∪…∪Ejs.