在什么条件下，方程x3＋px＋q=0， 1)仅有一个单重实根，2)有三个不同的实根，3)有一个二重实根．

证明：如果p＞0，那么关于x的一元三次方程x³+px+q=0有且仅有一个实根．

设x₁，x₂，x₃是方程x³+px+q=O的三个根，求。

指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？

(1)x=0; (2)y=x+1;(3)x²+y²=4; (4)x²-y²=1

写出用牛顿迭代法求方程的根的迭代公式(其中a＞0),并计算(精确至4位有效数字)。分析在什么范围内取初值x₀,就可保证牛顿法收敛。

求分式线性函数(ad-bc≠0)的反函数，并问：在什么条件下，反函数与直接函数相同？

在方程(7.29) 的例子中， 假设我们定义outlf在妇女不属于劳动力范围时等于1， 否则等于0。

(i) 如果我们将out lf对式(7.29) 中所有自变量做回归， 截距和斜率的估计值会怎么样？(提示：inlf=1-outlf。将它代入总体方程inlf=β0+β1nwifeinc+β2educ+…并重新整理。)

(ii)截距和斜率的标准误会有什么变化？

(iii)R2会有什么变化？

某工厂按原设计要对一半球体的工件的半球面部分镀上一层稀有金属，其半球面方程为x²+y²+z²=1(z≥0)，该厂按原设计的半球面面积2π备好电镀材料，当工件加工好后，对工件进行了测量，发现半球面方程为

其中|α|，|β|是很小正数，在测量了α和β后，工人师傅希望知道，按原准备好的材料电镀后，镀层厚度在什么情况下比原设计的薄？在什么情况下比原设计的厚？

证明:二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)在点取极值.在什么条件下,它取极大值(极小值)？

如果θ＞0。且纳税人是风险中性，纳税人会选择申报零收入吗？在什么条件下他会这样做？(北京大学光华管理学院2012研)