试证明： 是开集当且仅当对任意的，均有．

试证明：

试证明是开集当且仅当；是闭集当且仅当.

设有递增开集列：，且，试证明对任意的有界闭集，必存在k₀，当k≥k₀时，有．

设ΩC为开区域(即连通开集)，X为复Banach空间．若x(t)：Ω→X在Ω处处可导，则称x(t)在Ω上解析．若任意f∈X^*，f(x(t))为Ω上通常解析函数，则称x(t)在Ω上弱解析．证明Dunford定理：x(t)在Ω上解析当且仅当x(t)在Ω上弱解析．

证明Banach空间X是一致凸的当且仅当对任意{x_n}，{y_n}X，若，，则必有．

设H是复Hilbert空间，为自共轭算子，{E_λ}是T的谱系，ε＞0，Ω_ε={λ∈σ(T)：|λ|≥ε}．证明：T是紧算子当且仅当对任意的ε＞0，有T_ε=λdE_λ是有界的有限秩算子．

试证明：

设f∈C([0，∞))∩L([0，∞))，且是正值递减函数，则

当且仅当对t＞0有f(x+t)/f(x)→0(x→+∞)．

设实矩阵Α=（α_ij)，Α_ij是α_ij的代数余子式。证明：Α是正交矩阵当且仅当下述条件之一成立：（1)|Α|=1且对任意i，j，α_ij=Α_ij;（2)|Α|=-1且对任意i，j，α_ij=-Α_ij。

证明Banach空间X是严格凸的当且仅当对任意x^*∈X^*，x^*≠θ，若z₁，z₂∈X，‖z₁‖=‖z₂‖=1使(x^*，z₁)=(x^*，z₂)=(x^*，x)，则必有z₁=z₂．

设是紧集，{G_k}是K的开(球)覆盖，试证明存在ε₀＞0，使得对任意的x∈K，B(x，ε₀)必含于某个G_k中．

试证明：

设f(x)，g(x)是[0，∞)上正值可测函数，且对任意的a＞0，f∈L([0，a])，g∈L([0，a])．若有

，，

则存在充分大的值r，使得对满足0≤s≤r的s，均有

．