设线性算子由下式给出 ，i=1，2，…，m， 求证：为 ，j=1，2，…，n，

设H为复Hilbert空间，W为所有BL(H)中自伴算子之集，W₁为BL(H)中所有酉算子B之集使得。若A∈W，记

U(A)=(A-iI)(A+iI)¹

求证：U为从W到W₁的一一映射，其逆由下式给出：

U^-1(B)=i(I+B)(I-B)^-1， B∈W₁

[U(A)被称为A的Cayley变换。]

证明：设H是Hilbert空间，T：D(T)H→H是线性算子，则σ(T)是闭集，且在ρ(T)上，S(λ)=(T-λI)^-1是算子值解析函数．

设△1为习题3．2．1中的Laplace算子，即△1f=f11+f33．而△2为[20]1．5节定义5中的Laplace—Beltrami算子，即△2：C∞(M，R)→C∞(M，R)，△2f=div gradf．Gauss公式设f与g为曲面M上的C∞函数，D为M的一个区域，aD=C为闭曲线，则当i=1，2时，有：(1)

．其中n为区域D在M上的外法向量，ds为弧长元，dA为面积元；(2)

设是复希尔伯特空间，{α_n}是实数列且令

Tx=y:η_n=α_nξ_n， n=1，2，…，

其中x=(ξ₁，ξ₂，…，ξ₃，…)，y={η₁，η₂，…，η_n…}．证明：σ(T)等于{α_n}的闭包，每个α_n是T的特征值，且T的谱族{E_λ]由下式给出：

设H为Hilbert空间，{u_n}为H的可数标准正交集，{u_n}不一定为完全的。{k_n}为有界纯量序列，用E表示集合{k_n:n=1，2，…}。对x∈H令

(19)

求证：

(a)A∈BL(H)且

(b)

(c)若，则A-kI的逆B由下式给出

，k=0，

， k≠0

设集合A={{1，2，3}，{4，5}，{6，7，8}}，则下式为真的是(19)，设A：{1，2}，B={a，L，c}，C={c，d}，则Ax(B∩C)=(20)。

A．

B．

C．

D．

(a)设(k_ij)是无穷矩阵使得

(2)

证明(k_ij)表示一个有界线性映射F：l^∞→l^∞，F的定义如下

，i=1，2，…， (3)

这个级数对于所有i≥1和l^∞中的x都收敛。

(b)另一方面，若无穷矩阵(k_ij)使得(3)式定义了从c₀到l^∞的映射，证明(2)式成立。

考虑无穷矩阵

若

β=sup{|c_n|+|a_n|+|b_n|:n=1，2，…)＜∞，

γ=sup{|b_n-1|+|a_n|+|c_n+1|:n=1，2，…)＜∞，

其中b₀=0=c₁.求证：上述矩阵相对于l²上的典范标准正交基定义了l²上的有界线性算子A，且‖A‖≤(βγ)^1/2。[这类矩阵称为Jacobi矩阵。]

设E是n维线性空间，{e₁，e₂，…，e_n}是E的一个基，

(α_ij)(i，j=1，2，…，n)

是正定矩阵，对E中的元素x=∑_i=1ⁿx_ie_i及y=∑_i=1ⁿy_ie_i，定义

(x,y)=∑_i,j=1ⁿα_ijx_iy_j， (*)

则(·，·)是E上一个内积(注：正定矩阵的定义，请参考有关线性代数的教科书)。反之，设(·，·)是E上的一个内积，则必存在正定矩阵(α_ij)使(*)成立。