试证明： 设是可数集，则对任意的d＞0，存在t0∈R1，使得 ．

试证明：

设f∈C([a，b])，是可数集．若对任意的x∈[a，b)＼D，均存在δ＞0，使得f(t)＞f(x)(x＜t＜x+δ)，则f(x)是严格递增函数.

试证明：

设f(x)在E上非负可测，则点集

Y={y∈R¹:m({x∈E:f(x)=y})≠0}是可数集．

试证明：

设是不可数集，则存在x₀∈E，使得对任意的δ＞0，E∩(x₀-δ，x₀+δ)均为不可数集．

试证明：

设是不可数集，令

D={x∈E:对任意的δ＞0，E∩(x-δ，x+δ)是不可数集}，

则

(i)D是不可数集；

(ii)存在x₀∈E，使得对任意的δ＞0，点集E∩(x₀，x₀+δ)是不可数集．

试证明：

设Γ={E_α}是R¹中某些互不相交的正测集形成的集族，则Γ是可数的．

试证明：

设f(x)是上的实值函数，则对任意的ε＞0，存在R¹上可测函数g(x)和点集H：，使得

m^*(E)=m^*(H)，|f(x)-g(x)|＜ε，x∈H.

试证明：

设f(x)定义在R¹上，且记D_L(f)，D_R(f)各是f(x)的左不连续点集与右不连续点集．若其中之一是可数集，则另一点集也是．

设是紧集，{G_k}是K的开(球)覆盖，试证明存在ε₀＞0，使得对任意的x∈K，B(x，ε₀)必含于某个G_k中．

试证明：

设F是R1非空可数闭集，试证明F必含有孤立点.

试证明：

设{F_α}是R¹中的一个闭集族，若对任意的指标α，β，必有或(称{F_α}是一个链)，则或只是{F_α}中可数个的并集，或是闭集．