证明u=（x＋y)3－z为平行平面数量场． [提示：考察场中直线l：以及与之平行的任一直线L上u的数值．

考察参数区域为上半平面D={(x，y)｜y＞0}，而其第1基本形式为

并称这个度量为Poincae度量．证明：它的测地线为正交于x轴的上半平面的半圆或半直线(即平行y轴的半直线)．

证明W=ln(tanZ)代表的场为两无限大平行板的中间放置一根线电荷的场，线电荷与板平行。

证明：曲面上任一点处的切平面过某一定点，其中f(u，v)为可微函数.

证明：包含直线，且平行于直线的平面方程为。若2d是l₁，l₂之间的距离，证明

设u(x,y),v(x,y)是具有二阶连续偏导数的函数，并设

证明:

其中σ为闭曲线l所围的平面区域，为沿l外法线方向导数

如图1-20，一平行平面玻璃板的折射率为n，厚度为h，点光源Q发出的傍轴光束(即接近于正入射的光束)经上表面反射并成像于Q'₁点；穿过上表面后在下表面反射，再从上表面折射的光束成像于Q'₂点．证明Q'₁，Q'₂点间的距离为2h/n．

设u=F(x，y，z)具有连续偏导数，证明曲面

的切平面过一个定点

证明：曲面z=x+f(y-z)上任一点处的切平面平行于某定直线．