试证下列歌西不等式的扩充形式：

(歌西不等式)设a_k，b_k均为任意实数(k=1，2，…，n)．则有下列不等式：

设a_n≥0而∑a_n＜∞.试证下列的卡尔门不等式

[卡尔门]

试证萨比洛的弱“陶贝尔型”定理可被扩充成如下的形式：设α＞0．又设φ(t)为一正值单调上升函数并满足关系：

此处x→∞系经过这样的实数序列而使上式中的Stieltjes积分恒有意义，于是必有二正常数β₁及β₂使当x甚大时常有：

β₁x^α≤φ(x)≤β₂x^α，其中β₁决不可能大于1/α，而β₂决不可能小于1/α.

试证对一切实数x≥1，y＞0而言，常有不等式

[y/x]≤[y]/[x]

令0＜x₁＜x₂＜…＜x_n，0＜y₁＜y₂＜…＜y_n试证不等式

[拉普拉斯]

试证不等式

此处p₁，p₂，…，p_n；a₁，a₂，…，a_n都是正数，而a₁，a₂，…，a_n不全相等．

(基本不等式)试证除非一切a均相等时，总有

G(a,p)＜A(a,p),(p_k＞0).

已知函数y(x)满足方程

(x+1)y"=y', y(0)=3, y'(0)=-2试证：在x≥0时，有不等式