证明:若n=1,2,...,则数列{a_n}收敛,并求其极限.

试证明：

设：m(E_n)≥δ＞0(n∈N)，{a_n}是数列，若，a. e．x∈[a，b]，则．

设数列{x_n}满足0＜x₁＜π，x_n+1=sinx_n(n=1，2，…)。证明存在，并求该极限。

试证明：

设f_n∈L(R¹)(n=1，2，…)，F∈L(R¹)，且有

．

若存在，(n=1，2，…)：m(E_n△E)→0(n→∞)，则

．

设数列{x_n}满足|x_n+1|≤q|x_n|(n=1，2，…)，其中0＜q＜1。利用极限定义证明。

设f(x)在(-∞，+∞)内有连续导数，且，定义数列{x_n}如下：x₀任取，x_n=f(x_n-1)(n=1，2，…),证明{x_n}收敛

试证明：

设f_n∈C⁽¹⁾((a，b))(n=1，2，…)，且有

，， x∈(a，b)．

若存在f'(x)，F(x)在(a，b)上连续，则f'(x)=F(x)，x∈(a，b)．

证明：若正项数列{a_n}单调减少，且级数收敛，则

试证明：

设f_n(x)(n=1，2，…)是R¹上的递增函数，若存在M＞0，使得|f_n(x)|≤M(n∈N，x∈R¹)，则存在R¹上的函数f(x)以及{n_k}，使得．

设是复希尔伯特空间，{α_n}是实数列且令

Tx=y:η_n=α_nξ_n， n=1，2，…，

其中x=(ξ₁，ξ₂，…，ξ₃，…)，y={η₁，η₂，…，η_n…}．证明：σ(T)等于{α_n}的闭包，每个α_n是T的特征值，且T的谱族{E_λ]由下式给出：

设级数的部分和数列(n=1，2，…)，则级数的通项u_n=______，级数的和S=______。