设H为复Hilbert空间，A为H上的紧正规算子。求证：存在x∈H使得 ＜Ax，x＞=‖A‖， ‖x‖=1

设H为复Hilbert空间，A为H上的紧正规算子。求证：存在x∈H使得

＜Ax，x＞=‖A‖， ‖x‖=1

设H是复Hilbert空间，为自共轭算子，{E_λ}是T的谱系，ε＞0，Ω_ε={λ∈σ(T)：|λ|≥ε}．证明：T是紧算子当且仅当对任意的ε＞0，有T_ε=λdE_λ是有界的有限秩算子．

设A为Hilbert空间H上的紧算子，{u_n}为H的无穷标准正交序列，求证：在H中有Au_n→0

设A为Hilbert空间H上的紧算子。求证：若A与AA^*可交换，则A为正规算子，且当A不为紧算子时，这个结论一般不成立。

设H为复Hilbert空间，A为H上的正规算子。求证：若σ(A)={0}，则A=0。证明这在下述情形下均不成立：

(i)A不为正规的。

(ii)H为实Hilbert空间。

设A为Hilbert空间H上的非零紧算子。求证：存在有限或无限单调下降的正数列{α_n}，存在H的标准正交序列{u_n}和{v_n}使得

， z∈H， (6)

， x∈H。 (7)

设A为有限维复Hilbert空间，A为H上的正规算子，求证：A^*=p(A)，其中P为某一复系数多项式。由此推出若算子B与A可交换，则B也与A^*可交换。

设H是Hilbert空间，为紧算子，B={x∈H：‖x‖≤1}为单位闭球，f：B→定义为f(x)=〈Tx，x〉．证明f按B上的弱拓扑是连续的．

设H是复Hilbert空间，，其中I为恒等算子．证明：

设H为Hilbert空间，A∈BL(H)。求证：

(a)A为紧算子当且仅当A^*A为紧算子。

(b)若A为紧的，则A^*为紧的。