令n≥2为一整数。试证明：n-2行n列拉丁矩形至少有两个完备化。

令L是基于Z_n的m行n列拉丁矩形，并令其i行j列上的元素用a_ij表示。定义n行n列阵列B=(b_ij)

b_ij=k 若a_kj=i (9.1)

否则b_ij就是空的。试证明B是指数为m的n阶半-拉丁方。特别当A是n阶拉丁方时，B也是n阶拉丁方。

试证下列各个狄奥芳图方程式

x+2y=n,2x+3y=n-1,3x+4y=n-2，…，

(n+1)x+(n+2)y=0的非负整数解的总数为n+1．[卡他伦]

给定信号：

(1)画出x(n)序列的波形，标上各序列值； (2)试用延迟的单位脉冲序列及其加权和表示x(n)序列； (3)令x1(n)-2x(n-2)，试画出x1(n)波形； (4)令x2(n)=2x(n+2)，试画出x2(n)波形； (5)令x3(n)=x(2-n)，试画出x3(n)波形。

令B为Z_n中的差分集。试证明对于Z_n中的每个整数k，B+k也是差分集。

对n维线性定常单输入-单输出系统：

(1)已知cAib=0，(i=1，2，…，n-2)，但cAn-1b≠0，试证明该系统是既能控又能观的。 (2)证明该系统的传递函数是：

试证明：

设{f_n(x)}是R¹上非负实值可积函数渐降列，且f_n(x)→0(n→∞，x∈R¹)，令，则

．

试证明：

设f∈C([0，1])，且令

f'₁(x)=f(x)，f'₂(x)=f₁(x)，…，f'_n(x)=f_n-1(x)，….

若对每一个x∈[0，1]，都存在自然数k，使得f_k(x)=0，则．

设滤波器差分方程为：

y(n)=x(n)+3x(n-1)+2x(n-2)+3x(n-3)+x(n-4)

(1)试求系统的单位脉冲响应及系统函数；

(2)试画出其直接型及级联型、线性相位型及频率抽样型结构实现此差分方程。

令L_n(t)为拉盖尔函数。证明：(n=1，2，3，…)是L²[0，∞)中一个完备规范正交系