题目内容
（请给出正确答案）
[主观题]
求球面x（θ，φ)=（Rsinθcosφ，Rsin θsinφ，Rcosθ)的第1、第2基本形式以及Gauss曲率KG、平均曲率H．
求球面x(θ，φ)=(Rsinθcosφ，Rsin θsinφ，Rcosθ)的第1、第2基本形式以及Gauss曲率KG、平均曲率H．
答案
解法1xθ"=(Rcos θcosφRcos θsinφ-Rsinθ)xφ"=(-RsinθsinφRsin θcosφ0)
解根据习题2．6．3的结果有：(1)x(uv)=(sin vcosvsin vsinucosv)；(2)x(uv)=(一sin ucosv一sin usinv一cosv)．
解法1xθ"=(Rcosθcosφ,Rcosθsinφ,-Rsinθ),xφ"=(-Rsinθsinφ,Rsinθcosφ,0),单位法向量为xφφ""=(-Rsinθcosφ,-Rsinθsinφ,0)．于是E=xθ"．xθ"=R2,F=xθ".xφ"=0(xθ"⊥xφ"),G=xφ".xφ"=R2sin2θ,L=xθθ"".n=一R,M=xθφ"".n=0,N=xφφ"".n=一Rsin2θ．球面的第1和第2基本形式分别为I=ds2=Edθ2+2Fdθdφ+Gdφ2=R2dφ2+R2sin2θdφ2,Ⅱ=Ldθ2+2Mdθdφ+Ndφ2=一Rdθ2-Rsin2θdφ2．根据注2．6．1,有解法2从球面作为例2．6．3的特例得到上述解根据习题2．6．3的结果,有：(1)x(u,v)=(sinvcosv,sinvsinu,cosv)；(2)x(u,v)=(一sinucosv,一sinusinv,一cosv)．
，求F'，其中
