如题2．9图所示的电路，若以电阻r1上电压uR（t)为响应，试列出其微分方程，并求出冲激响应和阶跃响应。

在2．9题中已列出以u_C(t)为响应的微分方程为 u_C"(t) ＋u_C(t) =0．5u_S(t) 现在借用这一方程。对u_S、R₁、C构成的回路可列出以下KVL方程 u_C(t) =u_S(t)一u_R(t) 将其代入上述微分方程并整理得以u_R(t)为响应的微分方程 u_R"＋u_R=u_S"＋0．5u_S 冲激响应h(t)满足 h"(t)+h(t) =δ"(t) ＋0．5 δ(t) ① h(0_-) =0 方程右端含δ"(t)故设 h"(t)=aδ"(t) ＋bδ(t) ＋r₁(t) ② 对式②积分得 h(t)=aδ8(t)+r₂(t) ③ 注意：本题h(t)中含δ(t)。将式②、③代入式①并整理得 aδ"(t) ＋(b+a)δ(t) ＋r₁(t) ＋r₂(t) =δ"(t) ＋0．58(t) 比较上述方程冲激函数前的系数有 a=1 b＋a=0．5 b=0．5—1 =﹣0．5对式②从0_-到0₊积分得 h(0₊)一h(0_-) =b=﹣0．5h(0₊)＝h(0_-)一0．5 = ﹣0．5 当t＞0时h(t)满足 h"(t) ＋h(t) =0 该齐次方程的解为 h(t) =Ce^-t将初始值h(0₊)＝﹣0．5代入上式可求得：C= ﹣0．5。所以t＞0时h(t)= ﹣0．5 e_-t。考虑到t＜0时h(t)＝0并考虑到式③h(t)中含冲激项且强度为a=1因此h(t)可写为 h(t) =δ(t)一0．5e^-tε(t) 根据阶跃响应与冲激响应之间的关系得阶跃响应 g(t) =∫_-∞th(x)dx=∫_-∞t[δ(x)一0．5e^-xε(x)]dx=0.5(1＋e^-x)ε(t)
在2．9题中已列出以uC(t)为响应的微分方程为uC"(t)＋uC(t)=0．5uS(t)现在借用这一方程。对uS、R1、C构成的回路,可列出以下KVL方程uC(t)=uS(t)一uR(t)将其代入上述微分方程,并整理得以uR(t)为响应的微分方程uR"＋uR=uS"＋0．5uS冲激响应h(t)满足h"(t)+h(t)=δ"(t)＋0．5δ(t)①h(0-)=0方程右端含δ"(t),故设h"(t)=aδ"(t)＋bδ(t)＋r1(t)②对式②积分,得h(t)=aδ8(t)+r2(t)③注意：本题h(t)中含δ(t)。将式②、③代入式①,并整理,得aδ"(t)＋(b+a)δ(t)＋r1(t)＋r2(t)=δ"(t)＋0．58(t)比较上述方程冲激函数前的系数,有a=1b＋a=0．5,b=0．5—1=﹣0．5对式②从0-到0+积分,得h(0+)一h(0-)=b=﹣0．5,h(0+)＝h(0-)一0．5=﹣0．5当t＞0时,h(t)满足h"(t)＋h(t)=0该齐次方程的解为h(t)=Ce-t将初始值h(0+)＝﹣0．5代入上式可求得：C=﹣0．5。所以,t＞0时,h(t)=﹣0．5e-t。考虑到t＜0时h(t)＝0,并考虑到式③h(t)中含冲激项,且强度为a=1,因此h(t)可写为h(t)=δ(t)一0．5e-tε(t)根据阶跃响应与冲激响应之间的关系,得阶跃响应g(t)=∫-∞th(x)dx=∫-∞t[δ(x)一0．5e-xε(x)]dx=0.5(1＋e-x)ε(t)