已知氢原子的一个波函数为∮=A(r/a0)2sin2θsin2∮,试求一电子处在该状态时的能量E、角动量|M|以及角
已知氢原子的一个波函数为∮=A(r/a0)2
sin2θsin2∮,试求一电子处在该状态时的能量E、角动量|M|以及角动量在磁场方向的分量。
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解法一:由本题给出∮中可知,n=3时,从(r/a0)2可知l=2,从sin2∮可知,这项是通过m=±2的复函数组合而来,因n=3、l=2、|m|=2。E=(-1/9×13.6V=-1.5leV)|M|=题中∮是实函数,它由∮322和组合而来,即∮=c1∮322+c2,且c1=c2,∮不是的本征函数,因此没有确定的Mz值,平均值可以确定如下解法二:先求n、l、m三个量子数。量子数与节面数的关系:径向部分的节面数等于n-l-1,角度部分的节面数为z,其中(θ)部分的节面数为l—|m|。节面为除边界条件以外∮=0的面,因此必有sin2∮=0,sinθ=0,r2=0①sin2∮=0,则2∮=0、π、2π…因为∮的变化范围在0≤∮≤27c,所以∮取0、π/2、π、3π/2,由于∮定值时为一个半平面,因此0和π为一个节面,π/2和π/2为另一个节面,于是Ф(∮)部分有两个节面,由此可见|m|=2。②sinθ=0,θ=0、π。这是一根轴,不能单独组成节面,它与∮=0、π/2联合构成两个节面,这就是上面所说的Ф(∮)部分的两个节面,所以(θ)部分的节面数为0。l-|m|=l-2=0,所以l=2。③r2e=0。r=0中,r=∞这两个面均不算节面,所以n-1=0,即m=2+1=3,求算量子数后利用三个本征方程:可得E=-R/n2=13.6eV/9=-1.51eV|M|=从波函数的形式来看,∮是个实函数,所以不是的本征函数,因此没有确定值,其平均值可用下法求出。