设g：可微且存在常数α＜1使|g'（x)|≤α．证明迭代序列是收敛的，其中x0∈，xn=g（xn-1)．

设f(x)，g(x)都在[a，b]上连续，且在(a，b)内可微，又对于(a，b)内的x有g'(x)≠0，则在(a，b)内至少存在一点ξ，使f'(ξ)/g'(ξ)=[f(ξ)-f(a)]/[g(b)-g(ξ)]成立

设g(x，y)在[a，b]×连续，偏导数g'_y(x，y)处处存在，且存在正的常数m，M使m≤g'_y(x，y)≤M((x，y)∈[a，b]×)．证明方程g(x，y)=0在[a，b]内必有唯一连续解y=φ(x)．

(Du Bois-Reymond) 设f(x)，g(x)在[a，∞)上定义，且令(a≤x＜∞)．若(i)f∈R([a，X])(a＜X)，|F(x)|≤M(a≤x＜∞)；(ii)g(x)在[a，∞)上可微，且g'∈L([a，∞))；(iii)存在极限，则积分收敛．

设f(x)，g(x)都在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且g(x)≠0，f(a)g(b)=g(a)f(b)试证至少存在一点ξ∈(a，b)，使f'(ξ)g(ξ)=f(ξ)g'(ξ)

设X是复Banach空间，，g是解析函数且使解析演算g(T)是紧算子．又设σ(T)是不可数集．证明g在某点的邻域内必为常数函数．

可导函数F(x)和G(x)是同一个函数的原函数当且仅当它们相差一个常数，即存在常数C使得 G(x)-F(x)≡C．

设f(x，y)在(x₀，y₀)点连续，g(x，y)在(x₀，y₀)点可微，且g(x₀，y₀)=0，试证，函数f(x，y)g(x，y)在(x₀，y₀)点可微．

判断下列命题的真假，若真请给以证明；若假请举例说明．

(1)如果f(z)在z₀连续，那么f'(z₀)存在；

(2)如果f'(z₀)在z₀存在，那么f(z)在z₀解析；

(3)如果z₀是f(z)的奇点，那么f(z)在z₀不可导；

(4)如果z₀是f(z)和g(z)的一个奇点，那么z₀也是f(z)+g(z)和的奇点；

(5)如果u(x，y)和v(x，y)可导(指偏导数存在)，那么f(z)=u+iv亦可导；

(6)设f(z)=u+iv在区域D内是解析的，如果u是实常数，那么f(z)在整个D内是常数；如果v是实常数，那么f(z)在D内也是常数

设f(x)在区间[a，b]上连续，g(x)在区间[a，b]上连续且不变号，证明至少存在一点ξ∈[a，b]，使下式成立