从谐振子升、降算符的基本对易关系 [a，a+]=1 （1) 出发，证明 （2) （λ为参数)对于λ＞0，计算 进而讨论

将式(2)左端记为f(λ)，显然
f(0)=a (3)
视λ为参变量，将f(λ)对λ求导数，可得

利用式(1)，即得
(4)
其解为
f(λ)=f(0)e^-λ=ae^-λ
此即式(2)．
算符a⁺a在任意状态|ψ〉下的平均值为
〈ψ|a⁺a|ψ〉=|a|ψ〉|²≥0
因此a⁺a的本征值为非负实数，(注意a⁺a为厄米算符!)记为k₀，k₁，k₂，…，k_n，…，则
(5)
另一方面，视λ为参变量，有

利用式(2)，即得




即

即
(6)
积分，得

(7)
其中C=e^C为积分常数，待定．
式(7)中令λ→∞，得到T(∞)=C，和式(5)比较，可知a⁺a的最小本征值为k₀=0[否则式(5)给出T(∞)=0]，因此
T(∞)=1， C=1 (8)
代入式(7)，即得
(9)
当λ→∞，e^-λ→0⁺，将式(5)和(9)从e^-λ的最低次幂开始逐项比较，可知
k_n=n (10)
亦即a⁺a的本征值谱为
0，1，2，3，…，n，… (11)