求证：Hilbert空问上的酉算子不一定有特征值。

设A为Hilbert空间H上的酉算子，设σ(A)及W(A)分别为A的谱及数值域。求证：

(a)

(b)

设H为Hilbert空间，A∈BL(H)，W(A)为A的数值域。求证：

(a)W(A)=ω(UAU^-1)，其中U为H上的酉算子

(b)若W(A)至少含有两个点，则W(A)的导集为W(A)

设H为Hilbert空间，T∈BL(H)。求证：T为酉算子当且仅当T将H的每一完全标准正交集映到完全标准正交集。

设H为Hilbert空间，W为H上所有酉算子之集。求证：BL(H)中的乘积使W成为一个群，W为BL(H)的闭集。问W是否为BL(H)的子空间？

设H为复Hilbert空间，W为所有BL(H)中自伴算子之集，W₁为BL(H)中所有酉算子B之集使得。若A∈W，记

U(A)=(A-iI)(A+iI)¹

求证：U为从W到W₁的一一映射，其逆由下式给出：

U^-1(B)=i(I+B)(I-B)^-1， B∈W₁

[U(A)被称为A的Cayley变换。]

设A为Hilbert空问H上的正规算子。求证：

(a)对有，

(b)σ(A)=σ_a(A)，

(c)对应于不同特征值的特征向量相互正交。

设H是Hilbert空间，T是自共轭的，证明S=e^iT是酉算子．

设H为复Hilbert空间，A为H上的紧正规算子。求证：存在x∈H使得

＜Ax，x＞=‖A‖， ‖x‖=1

设T，T₁，T₂是Hilbert空间H中稠定的线性算子，α为复数．求证

设H为Hilbert空间，A∈BL(H)。求证：

(a)A为紧算子当且仅当A^*A为紧算子。

(b)若A为紧的，则A^*为紧的。