试证明： 设．若对任意的x∈E，存在开球B（x，δx)，使得m*（E∩B（x，δx))=0，则m*（E)=0．

试证明：

设f∈C([a，b])，是可数集．若对任意的x∈[a，b)＼D，均存在δ＞0，使得f(t)＞f(x)(x＜t＜x+δ)，则f(x)是严格递增函数.

试证明：

设.若对任意的x∈R¹，均有m(E△(E+{x}))=0，则

(i)m(E^c△(E^c+{x}))=0(x∈R¹)；

(ii)m(E)·m(E^c)=0．

试证明：

设f(x)是上的实值函数，则对任意的ε＞0，存在R¹上可测函数g(x)和点集H：，使得

m^*(E)=m^*(H)，|f(x)-g(x)|＜ε，x∈H.

设.若对任意的f∈C(F)，必有g∈C(R¹)，使得g(x)=f(x)(x∈F)(即可连续延拓到R¹上)，试证明F是闭集．

设是紧集，{G_k}是K的开(球)覆盖，试证明存在ε₀＞0，使得对任意的x∈K，B(x，ε₀)必含于某个G_k中．

试证明：

设f(x)，g(x)是[0，∞)上正值可测函数，且对任意的a＞0，f∈L([0，a])，g∈L([0，a])．若有

，，

则存在充分大的值r，使得对满足0≤s≤r的s，均有

．

‖x‖=inf{r＞0：r^-1x∈E)

证明‖·‖是X上的范数，且

再证明任意赋范空间X上的范数都是由某个E按上述方式生成的。

设f(x)是(a，b)上的递增函数，.若对任给ε＞0，存在(i=1，2，…)，使得

，,

试证明f'(x)=0，a. e．x∈E．

试证明：

设f_n∈L([0,1])，f_n(x)≥0(x∈[0，1])且(n∈N)．若，则对a．e．x∈[0，1]，存在N，使得(n＞N)．

试证明：

设f∈C^(∞)([0，1])．若对每个x∈[0，1]，均存在n_x∈N，使得f(n_x)(x)=0，则存在区间，以及多项式P(x)，使得

f(x)=P(x) (x∈(a，b)).

试证明：

设Γ是R¹上的一个连续函数族．若对每一个x∈R¹，均存在M_x＞0，使得

|f(x)|≤M_x(f∈Γ)．

则存在M＞0，以及开集，使得

|f(x)|≤M (f∈Γ，x∈G)．