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[主观题]

设X是可分的Banach空间，证明存在满的有界线性算子T：l1→X．

设X是可分的Banach空间，证明存在满的有界线性算子T：l¹→X．

答案

[证明]设X的原点单位闭球为B．因为X可分，故可取可列集使．注意到对每个a={a_n}∈l¹有
这表明a_nx_n绝对收敛．由于X完备，故a_nx_n收敛．令Ta=a_nx_n，则T：l¹→X为线性算子，且‖Ta‖≤‖a‖₁，即T是有界线性算子．下证T是满射，只须指出B中的每个点都有原像．设x∈B．因为{x_n}在B中稠，故使＜2^-1，同理对2(x-)∈B，k₂＞k₁使＜2^-1，即

利用数学归纳法可得{x_n}的子列{}使
，令及a_n=0(n≠k_i)，则存在a={a_n}∈l¹使．

发布时间：2022-12-27

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