试求出三次对称群 S3={（1)，（12)，（13)，（23)，（123)，（132)} 的所有子群．并利用Lagrange定理说

易知S₃的以下六个子集 H₁={(1)} H₂={(1)(12)} H₃={(1)(13)} H₄={(1)(23)} H₅={(1)(1 23)(1 32)} H₆=S₃；对置换乘法都是封闭的因此都是S₃的子群． 下证S₃仅有这六个子群． 设H为S₃的任一非平凡子群则由于|H|是|S₃|=6的因数故只能|H|=23． 当|H|=2时H中除单位元(1)外另一个元素只能是一个2阶元．但S₃的2阶元只有三个即(12)(13)(23)因此H只能是H₂H₃H₄. 当|H|=3时由Lagrange定理知H中元素的阶必为3的因数即只能是1或3．因此此时H中除单位元外另两个元素必定都是3阶元．但S₃中的三阶元有且仅有两个即(123)和(132)因此此时只能H=H₅． 综上所述可知S₃有且仅有以上六个子群．
易知S3的以下六个子集H1={(1)},H2={(1),(12)},H3={(1),(13)},H4={(1),(23)},H5={(1),(123),(132)},H6=S3；对置换乘法都是封闭的,因此都是S3的子群．下证S3仅有这六个子群．设H为S3的任一非平凡子群,则由于|H|是|S3|=6的因数,故只能|H|=2,3．当|H|=2时,H中除单位元(1)外,另一个元素只能是一个2阶元．但S3的2阶元只有三个,即(12),(13),(23),因此,H只能是H2,H3,H4.当|H|=3时,由Lagrange定理知,H中元素的阶必为3的因数,即只能是1或3．因此,此时H中除单位元外,另两个元素必定都是3阶元．但S3中的三阶元有且仅有两个,即(123)和(132),因此,此时只能H=H5．综上所述可知,S3有且仅有以上六个子群．