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[单选题]

设非齐次线性微分方程y'+P(x)y=Q(x)有两个不同的解y₁(x)，y₂(x)，C为任意常数，则该方程的通解是( )．

A.C[y₁(x)-y₂(x)]

B.y₁(x)+C[y₁(x)-y₂(x)]

C.C[y₁(x)+y₂(x)]

D.y₁(x)+C[y₁(x)+y₂(x)]

答案

B解法一：y₁(x)，y₂(x)是微分方程的解，则必有
y'₁(x)-P(x)y₁(x)=Q(x)
y'₂(x)-P(x)y₂(x)=Q(x)
选项(A)中，y=C[y₁(x)-y₂(x)]，则y'=C[y'₁(x)-y'₂(x)]，代入微分方程，有
C[y'₁(x)-y'₂(x)]+CP(x)[y₁(x)-y₂(x)]
=[Cy'₁(x)+CP(x)y₁(x)]一[Cy'₂(x)+CP(x)y₂(x)]=0≠Q(x)
所以不是微分方程的通解。
同理可判断，(C)，(D)均不是微分方程的通解．只有(B)满足微分方程，并且是其通解．
解法二：y₁(x)，y₂(x)为y'+P(x)y=Q(x)两个不同的解，则易知y₁(x)-y₂(x)为对应的齐次方程y'+P(x)y=0的非零解，从而C[y₁(x)-y₂(x)]为齐次方程的通解．根据微分方程通解的结构定理，可知y₁(x)+C[y₁(x)-y₂(x)]为原微分方程的通解．

发布时间：2022-12-27

更多“设非齐次线性微分方程y'+P（x)y=Q（x)有两个不同的解y1（x)，y2（x)，C为任意常数，则该方程的通解是（)． A．”相关的问题

第1题

设y₁，y₂是一阶非齐次线性微分方程y'+P（x)y=Q（x)的两个解，若常数λ，μ使得λy₁+μy₂为y'+P（x)y=Q（x)解，而λy₁-μy₂为y'+P（x)y=0的解。则（)。

A.λ=1/2，μ=1/2

B.λ=-1/2，μ=-1/2

C.λ=2/3，μ=1/3

D.λ=2/3，μ=2/3

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第2题

一阶线性非齐次微分万栏y'=p(x)y+q(x)的通解是( )．

A.y=e^-∫p(x)dx[∫q(x)e^∫p(x)dxdx+C]

B.y=e^∫p(x)dx∫q(x)e^∫p(x)dxdx；

C.y=e^∫p(x)dx[∫q(x)e^-∫p(x)dxdx+C]；

D.y=Ce^-∫p(x)dx

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第3题

已知y=1、y=x、y=x2是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为______．

已知y=1、y=x、y=x²是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为______．

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第4题

设φ1（x)，φ2（x)，φ3（x)是微分方程yˊˊ+P（x)yˊ+Q（x)y=f（x)的三个线性无关的特解，则该方程的通解为（

设φ1(x)，φ2(x)，φ3(x)是微分方程yˊˊ+P(x)yˊ+Q(x)y=f(x)的三个线性无关的特解，则该方程的通解为()

A．C1φ1 (x)+ C2φ2 (x)+ C3φ3 (x)

B．C1 [φ1 (x) －φ2 (x)]+ C2 [φ1 (x) －φ3 (x)]+ C3 [φ2 (x) －φ2 (x)]+ φ1 (x)

C．C1 [φ1 (x) －φ2 (x)]+ C2φ2(x)+ φ3 (x)

D．C1[φ1 (x) －φ2 (x)]+ C2[φ2 (x) －φ3 (x)]+[φ1 (x) +φ2 (x) + φ3 (x) ]

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第5题

设y1（x)=x，y2（x)=2x-ex是某二阶齐次线性微分方程的解，问C1x+C2ex是否为该方程的通解？

设y₁(x)=x，y₂(x)=2x-e^x是某二阶齐次线性微分方程的解，问C₁x+C₂e^x是否为该方程的通解？

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第6题

设欧拉方程xⁿy⁽ⁿ⁾+a₁x^n-1y^(n-1)+...+a_ny=0(1)，其中a₁，a₂，…，a_n都是常数，x＞0。试利用适当的变换把它化成常系数的齐次线性微分方程。

设欧拉方程xⁿy^（n)+a₁x^n-1y^（n-1)+...+a_ny=0（1)，其中a₁，a₂，…，a_n都是常数，x＞0。试利用适当的变换把它化成常系数的齐次线性微分方程。

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第7题

微分方程y'=x²y-2xy是( )

A.一阶非齐次线性微分方程

B.一阶齐次微分方程

C.可分离变量的微分方程

D.二阶微分方程

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第8题

二阶线性齐次微分方程y''-y'=0的通解是( )

A.C₁—C₂e^x

B.C₁e^x十C₂xe[^x

C.C₁+C₂e^x

D.C₁e^-x+C₂xe^-x

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第9题

二阶线性齐次微分方程y"-y'=0的通解是( )

A.C₁—C₂e^x

B.C₁e^x十C₂xe[^x

C.C₁+C₂e^x

D.C₁e^-x+C₂xe^-x

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第10题

设y=ex（asinx+bcosx)（a，b为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为_________

设y=ex(asinx+bcosx)(a，b为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为_________．

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第11题

由非齐次线性微分方程特解的求法，给出下列各方程中特解的形式：（1)；（2)y"-25y=（2x+1)e5x （3)y&quo

由非齐次线性微分方程特解的求法，给出下列各方程中特解的形式：

(1)； (2)y"-25y=(2x+1)e^5x

(3)y"-6y'+9y=(2x²-3)e^3x； (4)y"-3y'-4y=2e^4x+x²-1．

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