试证明: 设A,B是R1中的可测集,且m(A)>0,m(B)>0,则A+B中包含一个区间I:m(I)>0.
试证明:
设A,B是R1中的可测集,且m(A)>0,m(B)>0,则A+B中包含一个区间I:m(I)>0.
试证明:
设A,B是R1中的可测集,且m(A)>0,m(B)>0,则A+B中包含一个区间I:m(I)>0.
第1题
试证明:
设f(x)在E上非负可测,则点集
Y={y∈R1:m({x∈E:f(x)=y})≠0}是可数集.
第2题
试证明:
对x∈Rn-1(n>1),t∈R1,记(x,t)为
(x,t)=(x1,x2,…,xn-1,t)∈Rn.
设E是Rn-1中可测集,h>0,点集
A={(αz,αh):z∈E,0≤α≤1}
是以E为底、高为h且顶点为0的锥,则.
第3题
试证明:
设f(x),fk(x)(k∈N)是R1上的实值函数,则,a.e.x∈R1的充分必要条件是:对任给ε>0,存在可测集:m(E)<ε,使得对,存在K,有
|fk(x)-f(x)|<ε(k>K).
第4题
试证明:
设f(x)是上的实值函数,则对任意的ε>0,存在R1上可测函数g(x)和点集H:,使得
m*(E)=m*(H),|f(x)-g(x)|<ε,x∈H.
第5题
设有f:[a,b]→R1,若对于[a,b]中任一可测集E,f(E)必为R1中的可测集,试证明:对于[a,b]中任一零测集Z,必有m(f(Z))=0.
第6题
试证明:
设f∈L(R1),g∈L(R1),且有,试证明对任意的r∈(0,1),存在R1中可测集E,使得
.
第7题
试证明:
设,则m*(E1∪E2)=m*(E1)+m*(E2)的充分必要条件是:存在可测集M1,M2:,,且m(M1∩M2)=0.
第8题
试证明:
设f(x)是R1上的实值可测函数,对(-1,1)中任意取定的x,etxf(t)在R1上可积,且令,则g(x)在(-1,1)上可积.
第11题
试证明:
设f(x)是[0,1]上非负递增函数,则对[0,1]中的可测集E:m(E)=e,有
.