设（G，*)是群，e是幺元，如果对于G中任意元素n，都有a*a=e，证明（G，*)是阿贝尔群。

(G，*)是3阶群，G=(e，a，b)，其中e是幺元，证明a³=b³=e。

设G与G'都是群，f是群G到G'的同态映射,a∈G.

(1)证明若a的阶是有限的,则f(a)的阶也是有限的，且|f(a)|、整除|a|.

(2)如果f(a)的阶是有限的，那么a的阶一定是有限的吗？证明你的结论.

设(G，*)是一个群，HGG，H≠且H中的元素都是有限阶的，运算在H中封闭，则(H，*)是(G，*)的子群．

设(G，*)是14阶可交换群，证明：

设群G是其子群G1与G2的直积，即 G=G1×G2． 证明：G／G1≌G2， G／G2≌G1．

设(G，*)是任一群，定义RG×G为：R={(σ，φ)|存在θ∈G，使得φ=θ*σ*θ^-1}，验证R是G上的等价关系．

设群G=G1×G2×…×Gn．证明：当i≠j时，Gi∩Gj=e．