设G是有限群，且H＜G．证明：设群G是其子群G1与G2的直积，即 G=G1×G2． 证明：G／G1≌G2， G／G2≌G1．

设群G=G1×G2×…×Gn．证明：当i≠j时，Gi∩Gj=e．

设G与G'都是群，f是群G到G'的同态映射,a∈G.

(1)证明若a的阶是有限的,则f(a)的阶也是有限的，且|f(a)|、整除|a|.

(2)如果f(a)的阶是有限的，那么a的阶一定是有限的吗？证明你的结论.

设(G，*)是一个群，HGG，H≠且H中的元素都是有限阶的，运算在H中封闭，则(H，*)是(G，*)的子群．

设K是群G的一个有限正规子群，P是K的一个SylowP一子群．证明：G=N(P)K．

设(H，*)和(K，*)都是群(G，*)的子群，令

HK={h*k|h∈H，k∈K}， KH={k*h|h∈H，k∈K}，

证明：(HK，*)是群(G，*)的子群的充分必要条件为HK=KH。

设(H，*)和(K，*)都是群(G，*)的子群，证明(H∩K，*)也是(G，*)的子群。

设f和g都是群(G₁，★)到群(G₂，*)的同态映射，证明：(C，★)是(G₁，★)的一个子群，其中，C={x|x∈G₁，且f(x)=g(x)}．

A.吸收律

B.分配律

C.消去律