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[主观题]

设K是群G的一个有限正规子群，P是K的一个SylowP一子群．证明：G=N（P)K．

设K是群G的一个有限正规子群，P是K的一个SylowP一子群．证明：G=N(P)K．

答案

任取x∈G则由于P≤K≤及K.N(P)=N(P)K因此 G=N(P)K．
任取x∈G,则由于P≤K≤G,故xPx-1≤xKx-1=K(∈G)．但P是有限群K的一个SylowP一子群,故xPx-1也是K的一个SylowP一子群．于是,由Sylow定理知,P与xPx-1在K中共轭．即有k∈K使xPx-1=kPk-1．(k-1x)P=P(k-1x),于是k-1x∈N(P),从而x∈K.N(P),K.N(P),G=K.N(P)．又由于及K.N(P)=N(P)K,因此G=N(P)K．

发布时间：2022-12-29

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第1题

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第2题

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设(H，*)和(K，*)都是群(G，*)的子群，令

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第3题

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第4题

设（G，*)是一个群，HGG，H≠且H中的元素都是有限阶的，运算在H中封闭，则（H，*)是（G，*)的子群．

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第5题

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设f和g都是群(G₁，★)到群(G₂，*)的同态映射，证明：(C，★)是(G₁，★)的一个子群，其中，C={x|x∈G₁，且f(x)=g(x)}．

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第6题

设G是一个阶数大于2的群，且G的每个元素都满足方程x2=e．证明：G必含有4阶子群．

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第7题

设Y是线性空间X的子空间，p是X上的半范数，即p是从X到的一个映射，使得对X中所有x，y，，有 p（x)≥0， p（kx)=|k|p（

设Y是线性空间X的子空间，p是X上的半范数，即p是从X到的一个映射，使得对X中所有x，y，，有

p(x)≥0， p(kx)=|k|p(x)， p(x+y)≤p(x)+P(y)

若g：是线性的，对Y中所有y有g(y)≤p(y)，证明：存在线性映射使得f|_Y=g，且对X中所有x有|f(x)|≤p(x)

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第8题

设f（x)为Rn上的一个Cr函数（r≥1)，M={x∈Rn｜f（x)=0}≠∮，且对设M为R3中的一个2维Ck（k≥1)正则曲面，点P∈

设M为R3中的一个2维Ck(k≥1)正则曲面，点P∈M．证明：在M中存在P的一个开邻域U，使得U可用下列3种形式的Ck函数：2=f(x，y)， y=g(x，z)， x=h(y，z)中的一个确定为Ck曲面片．

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第9题

设G是有p个顶点q条边的(简单)无向图，且G中每个顶点的度数不是k就是k+1，则G中度为k的顶点的个数是多少()。

A.p/2

B.p(k+1)-2q

C.pk

D.p(p+1)

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第10题

设H为有限维Hilbert空间，A∈BL（H)。若（i)A为自伴的或（ii)A为正规的且数域K为求证：存在纯量t1，t2，…，tm存

设H为有限维Hilbert空间，A∈BL(H)。若

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求证：存在纯量t₁，t₂，…，t_m存在Y₁，Y₂，…，Y_m为两两正交的H的子空间，使得任取x∈H

x=y₁+y₂+…+y_m， y_i∈Y_i，

A(x)=t₁y₁+…+t_my_m

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第11题

下列问题基于以下题干：在一次魔术表演中，从七位魔术师：G、H、K、L、N、P和Q中，选择六位上场表演，表演

时分成两队：1队和2队。每一队有前、中、后三个位置，上场的魔术师恰好每人各占一个位置，魔术师的选择和位置安排必须符合下列条件： (1)如果安排G或H上场，他们必须在前位。 (2)如果安排K上场，他必须在中位。 (3)如果安排L上场，他必须在1队。 (4)P和K都不能与N在同一队。 (5)P不能与Q在同一队。 (6)如果H在2队，则Q在1队的中位。以下哪项列出的是2队上场表演可接受的安排？()A.前：H；中：P；后：K

B.前：H；中；L；后：N

C.前：G；中：Q；后：P

D.前：G；中：Q；后：N

如果H在2队，哪项列出的是1队可以接受的安排？()A.前：L；中：Q；后：N

B.前：G；中：K；后：N

C.前：L；中：Q；后：G

D.前：G；中：K；后：L

如果G在1队并且K在2队，下列哪个魔术师一定在2队的后位？()A.L

B.N

C.P

D.Q

如果G在1队，以下哪一对魔术师可以在1队？()A.K和L