题目内容
(请给出正确答案)
[主观题]
设X为赋范空间,Ω是X的有界开凸子集,θ∈Ω,T:→X为全连续算子,为Ω的边界.若下列条件之一满足:
设X为赋范空间,Ω是X的有界开凸子集,θ∈Ω,T:→X为全连续算子,为Ω的边界.若下列条件之一满足:
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设X为赋范空间,Ω是X的有界开凸子集,θ∈Ω,T:→X为全连续算子,为Ω的边界.若下列条件之一满足:
第4题
设E1和E2是赋范空间X的不交非空凸子集,其中E1是紧的,E2是闭的。证明:存在X'中的厂和实数α1,α2,使得对所有E1中的x1和E2中的x2有
Ref(x1)<α1<α2<Ref(x2)
第5题
‖x‖=inf{r>0:r-1x∈E)
证明‖·‖是X上的范数,且
再证明任意赋范空间X上的范数都是由某个E按上述方式生成的。
第6题
设E是赋范空间X的子集,Y=spanE,a∈X。证明当且仅当对所有在E上恒为0的f∈X’'有f(a)=0。
第7题
设E1和E2是赋范空间X的子集,
E1+E2={x+y:x∈E1,y∈E2)。
证明以下结论:
第8题
设X和Y为赋范空间,φ:为共轭双线性泛函。对x∈X,
y∈Y,令
求证:
(a)若φ为有界的,则它在X×Y上连续。
(b)若φ为有界的,则任取x∈X,y∈Y有fy∈X',fx∈Y'
(c)若任取x∈X,y∈Y,有fy∈X',fx∈Y'且X或Y为Banach空间,则φ必为有界的。
第9题
设X是复赋范空间。设F:C→X使得对X'中每个x',x'·F是有界的且在上是解析的,证明F是常函数。