试把二阶微分方程y"+p(x)y'+q(x)y=0化为一个黎卡提方程。

设y₁(x)，y₂(x)，y₃(x)是一阶微分方程

y'+p(x)y=q(x)的三个相异的特解，证明：（y₃(x）-y₁(x))/(y₂(x)-y₁(x))为一个定值

写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程：

（1）曲线上点P(x，y)处的法线与x轴的交点为Q，且线段PQ被y轴平分。

写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程： (1)曲线在点(x，y)处的切线的斜率等于该点的横坐标的平方； (2)曲线上点P(x，y)处的法线与x轴的交点为Q，且线段PQ被y轴平分； (3)曲线上点P(x，y)处的切线与y轴的交点为Q，线段PQ的长度为2，且曲线通过点(2，0)； (4)曲线上点M(x，y)处的切线与x轴、Y轴的交点依次为P与Q，线段PM被点Q平分，且曲线通过点(3，1)．

设φ1(x)，φ2(x)，φ3(x)是微分方程yˊˊ+P(x)yˊ+Q(x)y=f(x)的三个线性无关的特解，则该方程的通解为()

A．C1φ1 (x)+ C2φ2 (x)+ C3φ3 (x)

B．C1 [φ1 (x) －φ2 (x)]+ C2 [φ1 (x) －φ3 (x)]+ C3 [φ2 (x) －φ2 (x)]+ φ1 (x)

C．C1 [φ1 (x) －φ2 (x)]+ C2φ2(x)+ φ3 (x)

D．C1[φ1 (x) －φ2 (x)]+ C2[φ2 (x) －φ3 (x)]+[φ1 (x) +φ2 (x) + φ3 (x) ]

写出由下列条件所确定的曲线y=y(x)的微分方程：

(1)曲线y=y(x)上点(x，y)处切线与x轴的交点等于该点横坐标的平方；

(2)设曲线y=y(x)上点P(x，y)处的法线与y轴的交点为Q，恒有PQ的距离为3．

已知y=1、y=x、y=x²是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为______．

A.C₁—C₂e^x

B.C₁e^x十C₂xe[^x

C.C₁+C₂e^x

D.C₁e^-x+C₂xe^-x

A.C₁—C₂e^x

B.C₁e^x十C₂xe[^x

C.C₁+C₂e^x

D.C₁e^-x+C₂xe^-x

已知两条光滑的平面曲线C₁:f(x,y)=0及C₂：ψ(x,y)=0，又点P(α，β)∈C₁，点Q(ξ，η)∈C₂，且P，Q都不是曲线的端点，试证：如果这两点是两曲线上相距最近或最远的点，则下列关系式必成立：

(即PQ为C₁，C₂的公共法线)

设D是平面区域，P(x，y)和Q(x，y)在D内具有连续偏导数，试证明以下四个条件等价：

(1)Pdx+Qdy=du；

(2)

(3)c是D内任一简单闭曲线，∮_cPdx+Qdy=0；

(4)∫_ABPdx+Qdy与是什么路径无关，只要，且

∫_ABPdx+Qdy=u|_A^B=U(B)-u(A)

设某个垄断厂商的反需求函数为p=80-5q，p为价格，q为产量，生产函数为Q=√y，假定该产品生产只使用一种生产要素x。生产要素按r=5的固定价格购买。试计算该垄断者利润极大化时的价格、产量、生产要素x的使用量以及利润的值。