设sk=a1+a2+…+ak（k=1，2，3，…)，则

设N为一固定的大数，a₁，a₂，…，a_N，b₁，b₂，…，b_n为任意两组常数，今定义b_k=0(k＞N)以及

△^mb_k=△^m-1b_k+1-△^m-1b_k，△b_k=b_k+1-b_k

， s_k⁽¹⁾=s_k=a₁+a₂+…+a_k于是有下面的恒等式

设对于k=1,2,3，…时，b_k≥0，以及m＜s₁+s₂+…+s_k＜M，其中s_k=a₁+a₂+…+a_k．于是下列不等式必成立：

设a_k≥0(k=1，2，…，r)，证明存在，

(歌西不等式)设a_k，b_k均为任意实数(k=1，2，…，n)．则有下列不等式：

设a_k(k=1，2，…，n)为实数，

f(x)=a₁ln(1+x)+a₂In(1+2x)+…+a_nln(1+nx)，如果当x∈[1，2]时，|f(x)|≤ln(1+x)，证明

|a₁+2a₂+…+na_n|≤1

若(a_k-a_j)(b_k-b_j)≥0对一切k，j=1，2，…，n均成立时，即称(a)，(b)成相似整序，不然即称为相反整序．今设(a)，(b)为相似整序，又r＞0．则当一切a_k或一切b_k不全相等时，常有不等式

M_r(a)M_r(b)＜M_r(ab)[车比雪夫]

(哈兑不等式)设p＞1，a_n≥0，A_n=a₁+a₂+…+a_n，(n=1，2，…)．则有不等式

此处假定右端为收敛

设f(x)为正值单调下降函数(x≥0)，又a＞1．求证∑f(k)与∑a^kf(a^k)两者必同时收敛同时发散．

设f(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₁x+a₀是实系数多项式，n≥2，且某个a_k=0(1≤k≤n-1)，及当i≠k时，a_i≠0。证明：若f(x)有n个相异的实根，则a_k-1·a_k+1＜0