设A是实对称矩阵，且A2=0，证明A∞0。(提示：注意A的对角线上的元 )

设A是n阶实对称正定矩阵，则由格式(2.21)得到的向量序列{r^(k)}和{z^(k)}满足

[r^(k)，z^(k-1)]=0，[r^(k)，r^(l)]=0，[z^(k)，Az^(l)]=0(k≠l)．(2.22)

设a₁，a₂，…，a_n为正数，且．设(X，，μ)为Borel测度空间，且μ是正则的．证明对f₁，f₂，…，f_n∈L¹(μ)，f_i≥0，i∈，有

试证明：

设且m(A)＞1/2，则A包含一个子集A₀：m(A₀)＞0，且A₀关于点x=1/2是对称的．

(b1，b2，…，bn)=1．

，β＝

(2)A1＝

，A2＝

。

设f(x)为定义于-1＜x＜1的实值函数，且f'(0)存在，又{a_n}，{b_n}是两个数列，满足

证明

试证明：

设{f_n(x)}是R¹上非负实值可积函数渐降列，且f_n(x)→0(n→∞，x∈R¹)，令，则

．

设f(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₁x+a₀是实系数多项式，n≥2，且某个a_k=0(1≤k≤n-1)，及当i≠k时，a_i≠0。证明：若f(x)有n个相异的实根，则a_k-1·a_k+1＜0

试证明：

设且m(E)＜+∞，{f_t(x)}是E上一族(0＜t＜+∞)实值可测函数，若存在极限(x∈E)，且是E上可测函数，则任给ε＞0，存在：m(E₀)＞m(E)-ε，使得在E₀上一致地存在．

设二次曲面族的方程为，这里正常数a＞b＞c＞0，对于不等于a²，b²和c²的一个λ值，它表示一个二次曲面．证明：对于空间中任一点M₀(x₀，y₀，z₀)(其中x₀，y₀，z₀不为0的实数)，恰有二次曲面族中的3个曲面通过，且它们分别是单叶双曲面、双叶双曲面和椭球面。