设抛物线y=x2上点A（a，a2)（a≠0)处的法线交该抛物线的另一点为B，求线段AB的最短长度

设曲线上点P（x,y)处的法线与x轴的交点为Q,且线段PQ被y轴平分，试写出该曲线所满足的微分方程.

设ρ=ρ(x)是抛物线(x≥1)上任一点(x，y)处的曲率半径，S=S(x)是该抛物线上介于点A(1，1)与M之间的弧长，求的值．

求函数z=ln(x+y)在抛物线y²=4x上点(1，2)处，沿着这抛物线在该点处偏向x轴正向的切线方向的方向导数．

高等数学复旦大学出版第三版下册课后习题答案习题十

设平面薄片所占的闭区域D由抛物线y = x^2及直线y = x所围成，它在点(x, y)处的面密度ρ(x, y) = x^2y，求该薄片的重心。

求立方抛物线y=x³在点(2，8)处的切线和法线方程.

写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程： (1)曲线在点(x，y)处的切线的斜率等于该点的横坐标的平方； (2)曲线上点P(x，y)处的法线与x轴的交点为Q，且线段PQ被y轴平分； (3)曲线上点P(x，y)处的切线与y轴的交点为Q，线段PQ的长度为2，且曲线通过点(2，0)； (4)曲线上点M(x，y)处的切线与x轴、Y轴的交点依次为P与Q，线段PM被点Q平分，且曲线通过点(3，1)．

求抛物线y=x²与其在点(1，1)处的切线及x轴所围图形的面积。

(1)试确定a的值，使S1＋S2达到最小，并求出最小值； (2)求该最小值所对应的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．

写出由下列条件所确定的曲线y=y(x)的微分方程：

(1)曲线y=y(x)上点(x，y)处切线与x轴的交点等于该点横坐标的平方；

(2)设曲线y=y(x)上点P(x，y)处的法线与y轴的交点为Q，恒有PQ的距离为3．

设直线y=ax与抛物线y=x²所围成图形的面积为S₁它们与直线x=1所围成的面积为S₂，并且a＜1.（1)试确定a的值，使S₁+S₂达到最小，并求出最小值;（2)求该最小值所对应的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。