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（请给出正确答案）
[主观题]
设曲面M的第3基本形式为Ⅲ=edu2＋2fdudv＋gdv2． 证明： （1)曲面M的一个双曲点P处，在曲率不为零的渐
曲面M的一个双曲点P处，在曲率不为零的渐近曲线上，有
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曲面M的一个双曲点P处，在曲率不为零的渐近曲线上，有
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第2题
考察参数区域为上半平面D={(x，y)｜y＞0}，而其第1基本形式为
并称这个度量为Poincae度量．证明：它的测地线为正交于x轴的上半平面的半圆或半直线(即平行y轴的半直线)．
第3题
曲线C1:
和C3:v=1所构成的三角形的边长与内角．
1. 求下列曲面M的第1基本形式和第2基本形式I，Ⅱ： (1)椭球面：
参数表示为X(Φ，Θ)=(ACOSΦCOSΘ，BCOS ΦSINΘ，CSINΦ)； (2)单叶双曲面
参数表示为X(U，V)=(ACH UCOSV，BCH USINV，CSHU)； (3)双叶双曲面
参数表示为X(U，V)=(ACHU，BSH UCOSV，CSH USINV)； (4)椭圆抛物面：
参数表示为
(5)双曲抛物线
参数表示为X(U，V)=(A(U+V)，B(U一V)，2UV)； (6)劈锥曲面：X(U，V)=(UCOSV，USINV，Φ(V))，Φ为C1函数； (7)
参数表示为X(U，V)=(A(U+V)，B(U—V)，U2+V2).
第4题
在定理2．3．3(3)中，当det A=一1，n为奇数时，用不同于定理2．3．3(3)中的方法，而采用例2．3．2中的方法证明：
．并说明当n为偶数时，上述方法失效．
第5题
C的正交轨线的微分方程；
设曲面
M.的第1基本形式为
I.=
D.U2+(U2+A.2)
D.V2 (A.&
G.T;0).求：
第6题
从球面M=S2(R)：x2+y2+z2=R2的北极向xOy平面作球极投影．证明：球面M的第1基本形式为
第8题
C1曲面MC R3，它为可定向曲面
M上存在一个连续的单位法向量场．引理3．1．1是此题的高维推广，其证明参阅[7]第183页定理2或[8]第328页定理11．2．1
第10题
设M为R3中的2维紧致、光滑、连通曲面，H为其平均曲率，则
其中等号成立
M为一个球面．
