下列哪些点集是区域（)

判定下列平面点集中哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并分别指出它们的聚点所成的点集(称为导集)和边界．

设{r_n}，{λ_n}是实数列，作点集

，

若m(E)＞0，试证明.

试证明：

设f(x)在E上非负可测，则点集

Y={y∈R¹:m({x∈E:f(x)=y})≠0}是可数集．

试证明：

设是x，y的二元非零多项式，则点集E={(x，y)∈R²:P(x，y)=0}无内点．

试证明：

设是无上界开集，则存在x₀＞0，使得G包含无穷多个形如nx₀(n∈N)之点．

试证明：

对x∈R^n-1(n＞1)，t∈R¹，记(x，t)为

(x，t)=(x₁，x₂，…，x_n-1，t)∈Rⁿ.

设E是R^n-1中可测集，h＞0，点集

A={(αz,αh)：z∈E，0≤α≤1}

是以E为底、高为h且顶点为0的锥，则．

试证明：

设x₁＜x₂＜…＜x_n是n次多项式P(x)的n个不同实根，λ＞0并作点集

E={x∈R¹:P'(x)/P(x)＞λ}，

则E是有限个互不相交的区间之并集，且这些区间的总长度为n/λ．

试证明：

设且m(A)＞0，m(B)＞0，作点集E={|a-b|：a∈A，b∈B}，则E包含一个区间．

设X是有单位元e的复Banach代数．证明：σ(x)作为X上的集值函数是上半连续的：对点a∈X及中0的任意邻域V，存在B(a，δ)使x∈B(a，δ)有σ(x)σ(a)+V．

试证明：

设f(x)是上的实值函数，则对任意的ε＞0，存在R¹上可测函数g(x)和点集H：，使得

m^*(E)=m^*(H)，|f(x)-g(x)|＜ε，x∈H.