设K是一个惟一分解整环．证明： 1)ε是K的单位ε是K[x]的单位； 2)可约的本原多项式必有次

设K是惟一分解整环，又u，v∈K，u≠0．且 (u，v)=1．f(x)∈K[x]． 证明：在K的商域F中，若

是f(x)的根．则 (u-v)|f(1)， (u+v)|f(一1)．

(b1，b2，…，bn)=1．

设R是一个有单位元(用1表示)的有限环．证明：如果ab=1，则ba=1.

设X是K上的赋范线性空间，S={x∈X：‖x‖≤1}。设g：S→K是一个映射，使得

g(kx+y)=kg(z)+g(y)， (4)

其中x，y和kx+y属于S，k在中。证明g能唯一地延拓到X上的线性泛函f。再证明f是连续的当且仅当g是连续的。

一个有素因子分解的整环不一定是唯一因子分解整环。()

设n阶方阵A与B相似,证明:

(1)对任意的正整数k,都有A^k与B^k相似;

(2)对任意一个多项式矩阵多项式f(A)和f(B)相似;

(3)当A,B都是可逆矩阵时,Aⁿ和Bⁿ相似。

平板，以观测透镜凸表面和玻璃板平面之间空气薄层产生的牛顿条纹。

(1) 证明条纹间隔式中，N是由中心向外计算的

条纹数；λ为单色光波长。

(2) 若测得相距k个条纹的两个环半径分别为r_N和r_N+k，证

明：(3) 比较牛顿环条纹和等倾干涉圆条纹之间的异同。

设M为R3中的一个2维Ck(k≥1)正则曲面，点P∈M．证明：在M中存在P的一个开邻域U，使得U可用下列3种形式的Ck函数：2=f(x，y)， y=g(x，z)， x=h(y，z)中的一个确定为Ck曲面片．

设K是群G的一个有限正规子群，P是K的一个SylowP一子群．证明：G=N(P)K．