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[主观题]

设p是从希尔伯特空间H到其闭线性子空间的线性算子，证明下列命题等价：（1)P是投影算子；（2)P2=P且P是自

设p是从希尔伯特空间H到其闭线性子空间的线性算子，

证明下列命题等价：

(1)P是投影算子；

(2)P²=P且P是自共伴算子；

(3)P²=P，且N(P)上R(P)；

(4)若H是复空间，则还等价于

(Px，x)=‖Px‖²，x∈H

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发布时间：2023-09-18

更多“设p是从希尔伯特空间H到其闭线性子空间的线性算子，证明下列命题等价：（1)P是投影算子；（2)P2=P且P是自”相关的问题

第1题

设（X，τ)是Hausdorff拓扑线性空间，E是X的闭线性子空间，π：X→X/E是商投射，使得 π（x)=x+E（x∈X)，τE={VX/E：π-1（V

设(X，τ)是Hausdorff拓扑线性空间，E是X的闭线性子空间，π：X→X/E是商投射，使得

π(x)=x+E(x∈X)，τ_E={V $设（X，τ)是Hausdorff拓扑线性空间，E是X的闭线性子空间，π：X→X/E是商投射，使得$ X/E：π^-1(V)∈τ}．

证明：

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第2题

设是希尔伯特空间，M是的子集，证明：（M⊥)⊥是包含M的最小闭子空间。

设设是希尔伯特空间，M是的子集，证明：（M⊥)⊥是包含M的最小闭子空间。设是希尔伯特空间，M是的子集，是希尔伯特空间，M是的子集，证明：(M^⊥)^⊥是包含M的最小闭子空间。

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第3题

设是复希尔伯特空间，{αn}是实数列且令 Tx=y:ηn=αnξn， n=1，2，…，其中x=（ξ1，ξ2，…，ξ3，…)，y={η1，η2，…，ηn…}．证

设设是复希尔伯特空间，{αn}是实数列且令 Tx=y:ηn=αnξn， n=1，2，…，其中x= 是复希尔伯特空间，{α_n}是实数列且 $设是复希尔伯特空间，{αn}是实数列且令 Tx=y:ηn=αnξn， n=1，2，…，其中x=$ 令

Tx=y:η_n=α_nξ_n， n=1，2，…，

其中x=(ξ₁，ξ₂，…，ξ₃，…)，y={η₁，η₂，…，η_n…}．证明：σ(T)等于{α_n}的闭包，每个α_n是T的特征值，且T的谱族{E_λ]由下式给出：

$设是复希尔伯特空间，{αn}是实数列且令 Tx=y:ηn=αnξn， n=1，2，…，其中x=$

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第4题

设V是数域F上的一个线性空间,W是V的一个子集合,如何判断W是否是域F. 上的一个线性子空间？根据

设V是数域F上的一个线性空间,W是V的一个子集合,如何判断W是否是域F. 上的一个线性子空间？

根据定理4.9(主教材p178),"W是V的一个子空间的充要条件是W关于V中的两种运算(加法与数量乘法)封闭".因此判断W是否是V的子空间,只要判断W关于V中的两种运算是否封闭.例如:

设V是数域F上的一个线性空间,W是V的一个子集合,如何判断W是否是域F. 上的一个线性子空间？根据设

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第5题

设H为复Hilbert空间，W为所有BL（H)中自伴算子之集，W1为BL（H)中所有酉算子B之集使得。若A∈W，记 U（A)=（A-iI)（A

设H为复Hilbert空间，W为所有BL(H)中自伴算子之集，W₁为BL(H)中所有酉算子B之集使得 $设H为复Hilbert空间，W为所有BL（H)中自伴算子之集，W1为BL（H)中所有酉算子B之集使得$ 。若A∈W，记

U(A)=(A-iI)(A+iI)¹

求证：U为从W到W₁的一一映射，其逆由下式给出：

U^-1(B)=i(I+B)(I-B)^-1， B∈W₁

[U(A)被称为A的Cayley变换。]

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第6题

设Y是线性空间X的子空间，p是X上的半范数，即p是从X到的一个映射，使得对X中所有x，y，，有 p（x)≥0， p（kx)=|k|p（

设Y是线性空间X的子空间，p是X上的半范数，即p是从X到 $设Y是线性空间X的子空间，p是X上的半范数，即p是从X到的一个映射，使得对X中所有x，y，，有 p$ 的一个映射，使得对X中所有x，y， $设Y是线性空间X的子空间，p是X上的半范数，即p是从X到的一个映射，使得对X中所有x，y，，有 p$ ，有

p(x)≥0， p(kx)=|k|p(x)， p(x+y)≤p(x)+P(y)

若g： $设Y是线性空间X的子空间，p是X上的半范数，即p是从X到的一个映射，使得对X中所有x，y，，有 p$ 是线性的，对Y中所有y有g(y)≤p(y)，证明：存在线性映射 $设Y是线性空间X的子空间，p是X上的半范数，即p是从X到的一个映射，使得对X中所有x，y，，有 p$ 使得f|_Y=g，且对X中所有x有|f(x)|≤p(x)

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第7题

设H为Hilbert空间，{un}为H的无穷标准正交基，对n=1，2，…，设Fn=span{u1，u2，…un}。若Pn为从H到F，，的正交投影．求

设H为Hilbert空间，{u_n}为H的无穷标准正交基，对n=1，2，…，设F_n=span{u₁，u₂，…u_n}。若P_n为从H到F，，的正交投影．求证：

(a)任每一x∈H有P_nx→x。

(b)‖P_n-I‖不收敛到0。

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第8题

设H是Hilbert空间，T：D（T)H→H是闭的对称算子，证明σ（T)是下列4种情况之一．

设H是Hilbert空间，T：D(T) $设H是Hilbert空间，T：D（T)H→H是闭的对称算子，证明σ（T)是下列4种情况之一．设H是H$ H→H是闭的对称算子，证明σ(T)是下列4种情况之一．

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第9题

设H是Hilbert空间，T：D（T)H→H是闭的对称算子，令A={λ∈C：Imλ＞0}，证明在A与－A上都是常值．

设H是Hilbert空间，T：D(T) $设H是Hilbert空间，T：D（T)H→H是闭的对称算子，令A={λ∈C：Imλ＞0}，证明在A与$ H→H是闭的对称算子，令A={λ∈C：Imλ＞0}，证明在A与-A上都是常值．

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第10题

证明：设H是Hilbert空间，T：D（T)H→H是线性算子，则σ（T)是闭集，且在ρ（T)上，S（λ)=（T-λI)-1是算子值解析函数．

证明：设H是Hilbert空间，T：D(T) $证明：设H是Hilbert空间，T：D（T)H→H是线性算子，则σ（T)是闭集，且在ρ（T)上，S（$ H→H是线性算子，则σ(T)是闭集，且在ρ(T)上，S(λ)=(T-λI)^-1是算子值解析函数．

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第11题

设H是Hilbert空间，为紧算子，B={x∈H：‖x‖≤1}为单位闭球，f：B→定义为f（x)=〈Tx，x〉．证明f按B上的弱拓扑是连续的．

设H是Hilbert空间，设H是Hilbert空间，为紧算子，B={x∈H：‖x‖≤1}为单位闭球，f：B→定义为f（x)=〈为紧算子，B={x∈H：‖x‖≤1}为单位闭球，f：B→ $设H是Hilbert空间，为紧算子，B={x∈H：‖x‖≤1}为单位闭球，f：B→定义为f（x)=〈$ 定义为f(x)=〈Tx，x〉．证明f按B上的弱拓扑是连续的．