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（请给出正确答案）
设V是数域F上的一个线性空间,W是V的一个子集合,如何判断W是否是域F. 上的一个线性子空间？
根据定理4.9(主教材p178),"W是V的一个子空间的充要条件是W关于V中的两种运算(加法与数量乘法)封闭".因此判断W是否是V的子空间,只要判断W关于V中的两种运算是否封闭.例如:
答案
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第1题
设σ，τ为数域P上一线性空间V的线性变换，W≤V，若W关于σ，τ不变，则W关于σ+τ和στ也不变．
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第2题
若A，B，C，D为集合S的子集，A∪B=C，
若A，B，C，D为数域P上线性空间V的子空间，且
第3题
设V为n维线性空间，σ∈L(V)，W≤V，若
设σ，τ∈L(V)，W≤V，若W为τ的不变子空间，则W为σ的不变子空间？
第4题
设K是惟一分解整环，又u，v∈K，u≠0．且 (u，v)=1．f(x)∈K[x]． 证明：在K的商域F中，若
是f(x)的根．则 (u-v)|f(1)， (u+v)|f(一1)．
第5题
设X1，X2，Y都是数域
sup{‖T(x1，x2)‖：‖x1‖≤1，‖x2‖≤1)＜∞，则称T有界．设X1是完备的，截口T(x1，·)与T(·，x2)都是有界的，证明T是有界的．
第6题
当且仅当集合{α1，α2，…，αn}
{β1，β2，…，βm}B.当且仅当向量组α1，α2，…，αn可以由向量组β1，β2，…，βm线性表示
C.当且仅当V的基都是W的基
D.当且仅当dimV≤dimW
第8题
一理想费米气体的粒子数为N，体积为V，能量为E，粒子的态矢量为
和
不能同时被占据．如果气体处在热力学平衡态，试导出占据在能级
第9题
在空间，证设u在空间有界闭域
上有二阶连续导数，S是V的边界面n是S的外法向单位向量，证明：
(1)
第10题
设X是K上的赋范线性空间，S={x∈X：‖x‖≤1}。设g：S→K是一个映射，使得
g(kx+y)=kg(z)+g(y)， (4)
其中x，y和kx+y属于S，k在
第11题
设D为
其中ds为弦长度微分。求证上式定义了X上的一个内积。
