设α1,α2……αn为n维欧氏空间V的一组基．证明：这组基是标准正交基的充分与必要条件是，对V中任意向量α

设σ是n维欧氏空间V的一个线性变换，证明如果σ满足下列三个条件中的任意两个，那么它必须满足第三个：（i)σ是正交变换;（ii)σ是对称变换;（iii)σ²=τ是单位变换。

设V是n维欧氏空间,γ是V中一非零向量,试证W=｛α∈V/(α,γ)=0｝的维数等于n-1

设V是复数域上的n维线性空间，T1，T2是V上的线性变换，且T1T2=T2，T1，证明： (1)如果λ0是T1的特征值，则Vλ0是T2的不变子空间； (2)T1，T2至少有一个公共的特征向量．

设V为n维线性空间，σ，τ∈L(V)，且στ=τσ，则σV，σ^-1(0)均为τ-子空间．故τV，τ^-1(0)均为σ-子空间．

若σV，σ^-1(0)均为τ-子空间，τV，τ^-1(0)均为σ-子空间，则στ=τσ？

欧氏空间V中的线性变换称为反称的，如果对任意，α，β∈V，证明：

1)为反称的充分必要条件是，在一组标准正交基下的矩阵为反称的;

2)如果V₁是反称线性变换的不变子空间，则也是。

设ε₁，ε₂，ε₃是三维欧氏空间中一组标准正交基，证明：

也是一组标准正交基。

设V为n维线性空间，σ∈L(V)，W≤V，若，则W为σ的不变子空间．

设σ，τ∈L(V)，W≤V，若W为τ的不变子空间，则W为σ的不变子空间？

设三维线性空间V的线性变换σ在基ε₁，ε₂，ε₃下的矩阵为，

求：

设是n维线性空间V的两个线性变换，证明：

若V为n维线性空间，σ，τ∈L(V)，且σV=τV，σ^-1(0)=τ^-1(0)，，则．

若，，且σV=τV，则σ^-1(0)=τ^-1(0)？

A.当且仅当集合{α₁，α₂，…，α_n}{β₁，β₂，…，β_m}

B.当且仅当向量组α₁，α₂，…，α_n可以由向量组β₁，β₂，…，β_m线性表示

C.当且仅当V的基都是W的基

D.当且仅当dimV≤dimW