试证,若n维向量α与β正交,则对于任意实数k,l,有kα与lβ正交。
第1题
设E为Rn中任一子集,α为给定正数。对于任意的ε>0,令
其中d(Ek)表示Ek的直径,且下确界对一切满足而
d(Ek)<ε, k∈N
的集列{Ek}而取,再令
试证:Hα为基本集Rn上的外测度,并满足条件:若Hα(E)<∞,则当β>α时,Hβ(E)=0。Hα称为豪斯道夫(F.Hausdorff)测度。
第2题
设是n维实向量,且
α1,α2,···,αr线性无关。已知β=(b1,b2,···,bn)T是线性方程组
的非零解向量,试判断向量组α1,α2,···,αr,β的线性相关性。
第3题
设f(x)在(0,+∞)内连续,且对x,y的一切正实数值满足
f(xy)=f(x)·f(y)。试证f(x)在(0,+∞)内不恒等于零时,一定为幂函数f(x)=xa,其中a为常数。
变式设函数f(x)在(0,+∞)内连续,对任意x有f(x2)=f(x),且f(3)=5,求f(x)
数列{xn}存在极限,则其任一子列{xnk}也必定存在极限,且子列的极限等于数列的极限。
从而对于连续函数f(x)则有
。
第4题
设实方阵A=(aij)n×n的秩为,n-1+,αi为A的第i个行向量(i=1,2,…,n).求一个非零向量x∈Rn,使x与α1,α2,…,αn均正交.
第5题
若α1,α2,…,αr为VE的一组线性无关向量,则存在VE的一个标准正交向量组β1,β2,…,βr,使得L(α1,α2,…,αr)=L(β1,β2,…,βr).
若α1,α2,…,αr为VE的一个标准正交向量,且L(α1,α2,…,αr)=L(β1,β2,…,βr),则β1,β2,…,βr为标准正交向量组?
第6题
向量组线性无关的充要条件是α1,α2,···,αr线性无关。
第7题
设A为n阶正矩阵,若存在某个x∈Cn,x≥0,x≠0,Ax=λx,试证x为Perron向量的倍数且λ=γ(A).
第8题
在向量组α1,α2,…,αr(r≥2)中αr≠0,试证:对任意的k1,k2,…,kr-1,向量组
β1=α1+k1αr,β2=α2+k2αr,…,βr-1=αr-1+kr-1αr
线性无关的充要条件是α1,α2,…,αr线性无关
第9题
设实对称矩阵An×n的特征值如式(1.18),则对1≤k≤n,有
, (1.21)
其中Vk表示Rn的任意一个k维子空间.
第10题
设c是某(n,k)的线性分组码的一个码字(非全零码字)。 (1)若向量h和c正交,即chT=0,那么这样的h最多有多少种不同?(不包括全零向量) (2)若要求h和所有可能的编码结果都正交,这样的h有多少种不同?(不包括全零向量)